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微探究・單擺的等時性
時間魔術師
一個寶特瓶、一條風箏線、一支手機——只改變瓶子裡的水量，做出擺動一次剛好 1 秒的「秒擺」。從比賽開始，一路走到自己建立模型、預測週期。為龍騰出版社《微探究》實驗手冊撰寫的實驗 1。
- 2 秒秒擺來回一次的時間
- 82 cm固定的線長，只能調水量
- 403 ml參考答案（依寶特瓶而異）
- 10 分鐘分組競賽的倒數時間
2022 年 4 月的課堂：一人放手，一人用手機計時。
課堂實況
用寶特瓶做一個秒擺
把空寶特瓶綁在風箏線上，線長固定 82 公分，只能改變瓶子裡的水量。目標：讓它來回擺一次剛好 2 秒。
不能查公式、不能上網找答案，只能一邊加水、一邊計時、一邊逼近。
為什麼從比賽開始
單擺很難讓高中生興奮
單擺是課本裡最老的實驗之一，很難讓人想探究。所以這堂課先給一個明確的目標：做出秒擺。
操縱的變因是「水量」，公式裡沒有它，網路也查不到答案。學生只能自己找——而找答案的過程，就是這堂課要的科學素養。
- 明確的目標秒擺：擺過去 1 秒、擺回來 1 秒，週期 2 秒。
- 查不到的變因水量不在公式裡，只能靠實驗逼近。
- 分組競賽倒數 10 分鐘，看哪一組的水量最準，學生的投入超乎想像。
自己放手看看
角度大一點
週期會差多少
調擺長和起始角度，放手看看。模擬用真正的運動方程式一步一步算，右邊的碼錶記錄最近 10 次的平均週期。
- 課本公式 T₀ ＝ 2π√(L／g)
- — 秒
- 真正的週期（這個角度）
- — 秒
- 兩者相差
- —
- 碼錶：最近 10 次的平均
- —
角度大一點，週期只長一點點：20° 只差約 0.8%。真實實驗裡，按碼錶的時機才是最大的誤差來源。
課本的公式 T₀ ＝ 2π√(L／g) 只在角度小時準；這裡也算出精確的週期來比較。g 取 9.8 m/s²。
埋下的伏筆
公式說週期跟重量無關
查到的單擺公式說：週期只跟擺長有關，跟擺錘多重無關。可是實驗明明只加了水，週期就變了。這是矛盾嗎？
不是。加水不只是加重量，也移動了重心。水裝在瓶底，水越多，重心越往上，從懸掛點到重心的「擺長」就變短了。寶特瓶不是一個點，不能直接套公式。
這個認知衝突是刻意安排的：接下來，學生要自己量不同的線長與水量，用數據建立一個模型，再用模型預測一個從沒量過的寶特瓶計時器。
- 小角度才準？ 常有人說擺角要很小才能用公式，卻說不清楚要多小。從 20° 開始擺，週期只比公式長約 0.8%；擺十次之後角度常常已經小於 5°。真正大的誤差，來自按碼錶的時機。
角度與誤差
擺角越大
公式誤差越大
教師用本附的圖：理想單擺在不同的起始角度下，套用小角度公式會差多少。
單擺週期與起始角度的關係：角度越大，公式的誤差越大
一堂課怎麼進行
從比賽
到建立模型
照微探究的四個階段：發現問題、規劃研究、論證建模、表達分享。
- 01
動手
做一個秒擺
線長固定 82 cm，加水、擺動、計時，找出週期剛好 2 秒的水量，記錄十筆數據。
- 02
討論
單擺真的有週期性嗎？
數據顯示每次相差不到 2%。再討論怎麼量得更準：多做幾次取平均、擺正避免旋轉、從平衡點開始計時、量十次再除以十、避開空調與風扇。
- 03
發現問題
什麼會影響週期？
列出變因：擺長、水量、初始角度、綁線的位置、瓶子形狀、線會不會伸長、空氣阻力……再查查看有沒有公式，比較跟實驗合不合。
- 04
規劃研究
設計實驗
操縱變因：水量 100～400 ml、線長 50～90 cm；控制變因：起始角度 10°、同一個瓶子、同一種線、通過平衡點兩次算一個週期。
- 05
論證建模
畫圖、建立模型
把水量、線長和週期畫成關係圖，用內插法估計沒量過的組合。
- 06
表達分享
預測挑戰
現場放一個寶特瓶計時器，只告訴水量和線長，各組用自己的模型預測週期，2 分鐘後當場計時公布，預測最準的組別獲勝。
試題篇
學會了
要能用出來
手冊的試題篇不考公式背誦，考的是變因與推理。
變因
題組 1溫度會影響單擺嗎？
想證明「週期跟環境溫度有關」：操縱變因是溫度，應變變因是週期，擺長、擺錘質量、擺錘形狀都要控制。
起始位置
題組 2固定「拉開 10 cm」對嗎？
擺長改變時，拉開一樣的距離，起始角度其實不一樣。要固定的是角度，不是距離。
推理
題組 2螺母有多大？
實測週期總是比公式「擺長加 5 cm」的結果吻合，表示螺母的重心在線下方 5 cm，螺母直徑約 10 cm。
估算
題組 3秒擺要多長？
T ＝ 2 秒、g 取 10，算出擺長約 1 公尺；半秒擺（週期 1 秒）約 25 公分。
學生會學到什麼
做完之後會知道
- 等時性。擺動越來越小，來回的時間卻差不多，這就是單擺能用來計時的原因。
- 控制變因。一次只改一個條件，其他都要固定，而且要固定「對的東西」。
- 誤差從哪裡來。隨機誤差、儀器誤差、方法誤差、環境誤差、個人誤差，各有對策。
- 公式的使用條件。寶特瓶不是質點，加水會移動重心，所以不能直接套公式。
- 用數據建立模型。沒有公式時，量夠多的數據，也能預測沒看過的情況。
- 科學史。伽利略在教堂看吊燈擺動，發現等時性時還不到 20 歲。
相簿
課堂上
手拿著線，讓寶特瓶擺動
一人放手、一人用手機計時
在寶特瓶裡加水
記錄週期
微探究：DIY 風速計同一系列的微探究：風速計
反重力漂浮術力的平衡：反重力漂浮術
電荷偵測器也是龍騰出版社的教具