試閱單元：用手機看見聲音

這堂課在做什麼

時間	1 節課，約 50 分鐘
適用單元	選修物理 III 1-2 振動與週期波
每組材料	都卜勒徽章 1 個、手機 1 支（裝好 phyphox，免費）
這堂課學會	從波形數出頻率；看懂頻譜；知道一個聲音其實是好幾個頻率疊在一起

phyphox 是什麼？ 德國亞琛工業大學開發的免費手機程式，把手機的麥克風、加速度計等感測器變成實驗儀器，iOS 和 Android 都有。

一、先聽：它到底是幾赫茲？（5 分鐘）

打開徽章，放在桌上，請全班安靜聽。問：

1. 這個聲音是高音還是低音？（人耳大約聽得到 20 Hz 到 20000 Hz）
2. 它是「一個」頻率嗎？你怎麼知道？

先不給答案。接下來用手機自己量。

二、從波形數出頻率（20 分鐘）

1. 打開 phyphox，選「時變相對音強」。
2. 「持續時間」先隨意設一個值，看看畫面有什麼不同。
3. 按 ▶ 開始偵測，再打開徽章的開關。
4. 看到一排很密的波。按右上角的暫停 ⏸。
5. 點下方的「選取數據」，在波形上拖出兩個點，App 會算出兩點之間的時間差。
6. 數出這兩點之間有幾個波峰。

參考數據： 圖中兩點之間有 $n = 27$ 個波峰，時間差 $\Delta t = 9.792037\ \text{ms}$。

27 個波峰花了 9.792 ms，所以**一個波峰的時間（週期）**是

$$T = \frac{\Delta t}{n} = \frac{9.792037\ \text{ms}}{27} = 0.362668\ \text{ms}$$

每秒有幾個波峰，就是頻率：

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.362668 \times 10^{-3}\ \text{s}} \approx 2757\ \text{Hz}$$

小提醒： 兩點拖得越遠、數到的波峰越多，算出來的頻率越準；但波峰太擠數不清時，就把「持續時間」調短一點，讓波形展開。

三、換個角度：看頻譜（15 分鐘）

剛才看的是「聲音隨時間怎麼震動」。phyphox 還有一個「聲譜」，畫的是「聲音裡有哪些頻率、各有多強」，用到的數學叫傅立葉轉換（FFT）：把一個複雜的震動，拆成一堆不同頻率的單純正弦波。

1. 回到主畫面，選「聲譜」，按 ▶。
2. 打開徽章，看畫面。

最高的峰在 2765 Hz 附近，和剛才數波峰得到的 2757 Hz 幾乎一樣。（兩者差 8 Hz，在頻譜的解析度 23.44 Hz 以內，是正常的。）

但是，後面還有兩個比較矮的峰。 把手指點在每個峰上，讀出頻率：

峰	頻率	強度（a.u.）	是第一個峰的幾倍
第 1 個	2765.6 Hz	2.34	1 倍
第 2 個	5531.2 Hz	0.345	2.000 倍
第 3 個	8296.9 Hz	0.0907	3.000 倍

三個峰剛好是 1 : 2 : 3。這個蜂鳴器發的聲音，不是單一頻率，而是基頻加上它的 2 倍、3 倍頻率（叫泛音或諧波）疊在一起，越高次越弱。

為什麼這很重要？ 鋼琴和小提琴彈同一個音，基頻一樣，聽起來卻不同，就是因為各個泛音的強弱比例不同。這個比例，就是音色。

四、算算看（5 分鐘）

室溫 21℃，聲速 $v = 331 + 0.6 \times 21 = 343.6\ \text{m/s}$。波長 $\lambda = v / f$。

• 基頻 2757 Hz 的波長：$\lambda_1 = 343.6 \div 2757 \approx 0.125\ \text{m} = 12.5\ \text{cm}$
• 2 倍頻 5531 Hz：$\lambda_2 = 343.6 \div 5531 \approx 6.2\ \text{cm}$
• 3 倍頻 8297 Hz：$\lambda_3 = 343.6 \div 8297 \approx 4.1\ \text{cm}$

頻率越高，波長越短。這個波長 12.5 cm，就是下一個單元用吸管做的「氣體共鳴柱」要量出來的東西。

五、小結與學習單（5 分鐘）

今天的重點：

1. 數波峰：頻率 = 波峰數 ÷ 時間。
2. 聲譜把聲音拆成不同頻率；一個蜂鳴器有基頻，也有 2 倍、3 倍的泛音。
3. 頻率越高，波長越短：$\lambda = v / f$。

學習單

1. 人耳大約聽得到哪個頻率範圍？徽章的聲音算高頻還是低頻？你聽起來是什麼感覺？
2. App 裡的「持續時間」是什麼意思？設太長或太短，各會遇到什麼問題？
3. 某次實驗，在 $\Delta t = 9.792\ \text{ms}$ 裡數到 27 個波峰，求週期和頻率。
4. 頻譜上第 2、第 3 個峰的頻率，各是第 1 個峰的幾倍？
5. 為什麼這三個峰剛好有簡單的整數比？你覺得可以用什麼實驗檢驗你的猜想？
6. 聲速 343.6 m/s，求頻率 2757 Hz 與 5531 Hz 的聲波波長。

答案與詳解（教師用）

1. 約 20 Hz 到 20000 Hz。2757 Hz 算偏高頻，聽起來尖銳。（高音喇叭負責的就是這個範圍。）
2. 「持續時間」是畫面一次顯示多長時間的聲音。設太長，波峰擠在一起數不清；設太短，畫面上的波峰太少，誤差大。
3. $T = 9.792 \div 27 = 0.3627\ \text{ms}$；$f = 1 \div 0.3627\ \text{ms} \approx 2757\ \text{Hz}$。
4. $5531.2 \div 2765.6 = 2.000$ 倍；$8296.9 \div 2765.6 = 3.000$ 倍。
5. 開放題。常見的解釋：震動不是純正弦波，所以拆開後含有基頻的整數倍（諧波）。可以請學生設計檢驗方法，例如換一個不同的蜂鳴器、改變電池電壓、或用手機錄音後比較各峰的強弱變化。
6. $\lambda = 343.6 \div 2757 \approx 12.5\ \text{cm}$；$343.6 \div 5531 \approx 6.2\ \text{cm}$。

教學提醒： 頻譜讀出的 2765 Hz 和波形算出的 2757 Hz 不會完全一樣，這正好是討論「儀器解析度」的好機會：頻譜的解析度是 23.44 Hz，兩個數字相差 8 Hz，在誤差範圍內。

想要整學期的課程？

這一節是 16 到 32 節「STEAM 科學探究課」的一個單元。前面有電路板設計、焊接，後面有氣體共鳴柱量聲速、都卜勒效應與紅位移。完整的課程目錄在產品頁下方。